72 kuralı

Bazen bir değişkenin belli bir artış oranıyla ne zaman ikiye katlayacağını merak ederiz. Örneğin, aylık %1 faiz oranıyla paramız ne zaman ikiye katlar, yıllık %10 enflasyonla ortalama fiyat düzeyi ne zaman bu günkünün iki katı olur? Bunları hesaplamak kolay.

n: dönem sayısı

r: artış oranı

olmak üzere

(1 + r)ⁿ = 2 eşitliğinden n'i çekeceğiz. Her iki tarafın ln'ini -doğal logaritmasını- alıp düzenlersek

n = (ln 2)/ln(1 + r​).

Ama gördüğünüz gibi, çoğu insana sevimli gelen bir formül değil bu. Dolayısıyla, güzel bir yaklaşıma ihtiyacımız var. İşte ihtiyacımız olan o yaklaşım 72 kuralı:

n ≈ %72/r.

Fark ettiyseniz bu yaklaşıma 72 kuralı değil de %72 kuralı deseydik daha güzel olurdu.

%10 enflasyon ile fiyatlar ne zaman ikiye katlar diyorduk: n = (ln 2)/ln(1 + %10​) ≈ 7.3 yıl. Demek ki, %10 yıllık enflasyon ile bu gün aldığımız ürünleri yaklaşık 7.3 yıl sonra iki katı fiyata alacağız. Bunu formüle göre değil de yaklaşıma göre hesaplasaydık %72/%10 = 7.2 yıl bulurduk.

n ≈ %72/r olduğuna göre r ≈ %72/n olur. O halde, 72 kuralını, yıl verildiğinde artış oranını bulmak için de kullanabiliriz. Örneğin, paramız hangi yıllık faiz oranıyla 4 yılda ikiye katlar diyorsak %72/4 = %18 buluruz.

r̄ = 100r olmak üzere, aşağıda çok kullandığımız bazı tam sayı r̄'lar için gerçek ve yaklaşık n'ler ve hatalar var. Aslında gerçek n dediklerimiz de yaklaşık değerler çünkü ln 2 irrasyonel bir sayı, yani tablodaki gerçek n'ler, 72 kuralıyla bulduğumuz yaklaşık n'lerden daha iyi yaklaşık değerler. 72 kuralını, iyi bir yaklaşım sayabiliriz, değil mi!

r̄ gerçek 72 kuralı hata

1 69.7 72.0 2.3

2 35.0 36.0 1.0

3 23.4 24.0 0.6

4 17.7 18.0 0.3

5 14.2 14.4 0.2

6 11.9 12.0 0.1

8 9.0 9.0 0.0

9 8.0 8.0 0.0

10 7.3 7.2 −0.1

12 6.1 6.0 −0.1

15 5.0 4.8 −0.2

16 4.7 4.5 −0.2

18 4.2 4.0 −0.2

24 3.2 3.0 −0.2

Yaklaşımların en basiti linearizasyondur. a noktasında türevi olan bir f fonksiyonunun bu noktadaki linearizasyonu:

L(x) = f(a) + f′(a)(x − a).

Biz, 0'a yakın r'ler için n = (ln 2)/ln(1 + r​)'leri yaklaşık olarak bulmak istiyoruz. ln 2 ≈ 0.693 olduğunu biliyoruz. f(r) = ln(1 + r) dersek f′(r) = 1/(1 + r) olduğunu da biliyoruz. Öyleyse, f'in 0'daki linearizasyonu:

L(r) = ln(1 + 0) + (1/(1 + 0))(r − 0) = 0 + r = r.

Yani r, 0'a yakınsa ln(1 + r) yaklaşık r'dir. Örneğin, ln 1.005 yaklaşık 0.005'tir. Hesap makinem diyor ki ln 1.005 = 0.004987...

Sonuç olarak, (ln 2)/ln(1 + r​) için %69.3/r iyi bir yaklaşımdır. O zaman neden 69.3 kuralı denmemiş? Denmiş; böyle diyen de var ama 72 daha iyi çünkü 69.3 pratik bir sayı değil ama 72 pratik bir sayı, 72'nin tam sayı böleni çok. 69.3 değil de 72 kullanmamızın bir nedeni daha var. r, 0'a çok yakınsa %69.3 daha iyi sonuç verir ama bizim merak ettiğimiz r'ler 0.01'den 0.25'e kadar değiştiği için hem ortalama mutlak hata olarak hem de ortalama mutlak yüzde hata olarak %72 daha iyi sonuçlar veriyor. Başka bir ifadeyle, biz %1'den %25'e kadar olan r'ler için iyi bir yaklaşım arıyoruz, bu yüzden %72 daha iyi sonuç veriyor. Eğer ‰1'den ‰25'e kadar olan r'ler için yaklaşım arasaydık hiç şüphe yok %69.3 daha iyi sonuç verirdi çünkü r, 0'a ne kadar yaklaşırsa hata o kadar azalır.

Benzer şekilde üçe katlama yaklaşımı da bulabiliriz. ln 3 ≈ 1.098 olduğundan bu yeni yaklaşıma 110 kuralı dersek olur ama 120 dersek daha iyi olur, yine bölen sayısı nedeniyle. r = %3 ise n ≈ 37.2, 120 kuralına göre n = 120/3 = 40.